有限数学示例

$\sqrt{4 y + 20} - v y - 4 = 6$

解题步骤 1

将所有不包含 $\sqrt{4 y + 20}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $v y$ 。

$\sqrt{4 y + 20} - 4 = 6 + v y$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$\sqrt{4 y + 20} = 6 + v y + 4$

解题步骤 1.3

将 $6$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{4 y + 20} = v y + 10$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{4 y + 20}}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 y + 20}$ 重写成 ${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(4 y + 20)}^{1} = {(v y + 10)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$4 y + 20 = {(v y + 10)}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(v y + 10)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(v y + 10)}^{2}$ 重写为 $(v y + 10) (v y + 10)$ 。

$4 y + 20 = (v y + 10) (v y + 10)$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(v y + 10) (v y + 10)$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$4 y + 20 = v y (v y + 10) + 10 (v y + 10)$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y + 10)$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1.1

移动 $v$ 。

$4 y + 20 = v \cdot v y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

解题步骤 3.3.1.3.1.1.2

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$4 y + 20 = v^{2} y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.2.1

移动 $y$ 。

$4 y + 20 = v^{2} (y \cdot y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

解题步骤 3.3.1.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

将 $10$ 移到 $v y$ 的左侧。

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 \cdot (v y) + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 v y + 10 v y + 100$

解题步骤 3.3.1.3.2

将 $10 v y$ 和 $10 v y$ 相加。

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 20 v y + 100$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 = 4 y + 20$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $4 y$ 。

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y = 20$

解题步骤 4.3

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $20$ 。

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y - 20 = 0$

解题步骤 4.3.2

从 $100$ 中减去 $20$ 。

$v^{2} y^{2} + 20 v y - 4 y + 80 = 0$

解题步骤 4.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.5

将 $a = v^{2}$ 、 $b = 20 v - 4$ 和 $c = 80$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- (20 v - 4) \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

运用分配律。

$y = \frac{- (20 v) + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.2

将 $20$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.4

添加圆括号。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.5

使 $u = v^{2} \cdot 80$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $v^{2} \cdot 80$ 。

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解题步骤 4.6.5.1

将 ${(20 v - 4)}^{2}$ 重写为 $(20 v - 4) (20 v - 4)$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{(20 v - 4) (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(20 v - 4) (20 v - 4)$ 。

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解题步骤 4.6.5.2.1

运用分配律。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v - 4) - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.5.2.2

运用分配律。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.5.2.3

运用分配律。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.6.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.6.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v \cdot v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.5.3.1.2

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 4.6.5.3.1.2.1

移动 $v$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (v \cdot v)) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.5.3.1.2.2

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v^{2}) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.5.3.1.3

将 $20$ 乘以 $20$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.5.3.1.4

将 $- 4$ 乘以 $20$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.5.3.1.5

将 $20$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.5.3.1.6

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.5.3.2

从 $- 80 v$ 中减去 $80 v$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.6

从 $400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.6.6.1

从 $400 v^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.6.2

从 $- 160 v$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.6.3

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) - 4 u}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.6.4

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.6.5

从 $4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.6.6

从 $4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.6.7

从 $4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - u)}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.7

使用 $v^{2} \cdot 80$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (v^{2} \cdot 80))}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.8

化简。

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解题步骤 4.6.8.1

化简每一项。

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解题步骤 4.6.8.1.1

将 $80$ 移到 $v^{2}$ 的左侧。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (80 \cdot v^{2}))}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.8.1.2

将 $80$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - 80 v^{2})}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.8.2

从 $100 v^{2}$ 中减去 $80 v^{2}$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (20 v^{2} - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.9

从 $20 v^{2} - 40 v + 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.6.9.1

从 $20 v^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.9.2

从 $- 40 v$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4)}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.9.3

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.9.4

从 $4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.9.5

从 $4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.10

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{16 (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.11

将 $16 (5 v^{2} - 10 v + 1)$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)$ 。

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解题步骤 4.6.11.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.11.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.12

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 2^{2} \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.6.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 4 \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

解题步骤 4.7

最终答案为两个解的组合。

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

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